Cette page est inspirée d'une vidéo (en anglais)
URL : - The hardest what comes next (vidéo Youtube)

C'est une vidéo de Mathologer sur sa chaine youtube au sujet de la formule pentagonale d'Euler sur les partitions d'un entier

Voir aussi: _Vidéos maths(lien privé) et What comes next Méthode de Newton

Dans beaucoup de tests de QI on done une suite de nombres, ou de figures, et on demande quel est le nombre ou la figure suivante. Mais ce n'est pas toujours évident...

On peut représenter toute suite de nombres par une fonction avec = 1er terme de la suite, = terme suivant etc.

Par exemple dans la suite 1 2 4 8 16 ... il semble évident que le terme suivant , mais en fait non, car nous nous intéressons au nombre de régions (partitions) qui apparaissent lorsque on positionne points sur un cercle et qu'on les relie 2 à 2 de toutes les façons possibles :

Et il se trouve que le terme suivant n'est pas 32 mais 31... La suite commence en fait par

Autre exemple : on s'intéresse au nombre de façons dont un nombre peut être exprimé comme une somme de nombres positifs (éventuellement égaux), c'est à dire le nombre de partitions possibles d'un nombre . Ainsi 4 peut être "fabriqué" de 8 façons différentes. (2 et 1+1), et finalement

Mais si on exige que les partitions qui contiennent les mêmes nombres soient confondues (comme 2+1+1 = 1+2+1 = 1+1+2), alors on a . Donc les nombres premiers ? Eh bien non, car !! Alors les nombres de Fibonacci ? ça ne marche que jusque

En fait la suite est

Il y a une formule explicite exacte, extraordinairement compliquée du à Ramanujan, qui contient des sinus hyperboliques... (à 26:13 de la vidéo).
Il y a aussi une formule approximative :

OK.

Mathologer donne une construction intéressante de cette suite, due à Euler ; pour calculer , partant de , il faut ajouter les deux termes en position n-1 et n-2, soustraire les deux termes en position n-5 et n-7, ajouter les deux en position n-12 et n-15 etc... et la suite des différences de position est
Comment la calculer ?
On constitue alors la suite des différences successives :
qui est constituée du mélange de la suite des entiers naturels et de celle des impairs.

On peut construire une autre suite basée sur la même construction d'Euler, mais cette fois on incrémente le premier terme chaque fois que l'on calcule un nouveau terme. Par exemple au bout de 12 itérations on obtient la séquence

et 28 est la somme des facteurs premiers de 12. (incluant 1 et 12) ! Ce qui donne un lien intrigant entre le nombre de partitions additives d'un nombre et la somme de ses facteurs ! Incidemment c'est un détecteur de primalité... en donc pas très efficace.

La suite est celle des nombres pentagonaux, c'est à dire le nombre de points que contiennent les pentagones de coté 1,2,3... et
Il se trouve que la suite des nombres pentagonaux se retrouve aux index impairs de la suite déjà vue ci-dessus ! donc un lien entre les partitions d'un nombre et les nombres pentagonaux...
Quant aux index pairs, on les trouve en introduisant des n négatifs dans la formule pentagonale

Partant du n-ième nombre pentagonal, on peut réarranger le pentagone de points en un rectangle plus un triangle :: Cela constitue une partition particulière de 35. On peut considérer par exemple que 35 = 9+8+7+6+5 et considérer des lignes superposées d'autant de points, les diagrammes de Ferrer.

[A SUIVRE : j'en suis à 30:46 dans la vidéo]
#TBC